Question

已知二項式(

5	x

+

1

2x

)m的展開式中第2項為常數(shù)項t，其中m∈N^*，且展開式按x的降冪排列．
（Ⅰ）求m及t的值．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}中，a₁=t，a_n=tan-1-，n∈N^*，求證：a_n-3能被4整除．

Answer 1

考點：數(shù)學(xué)歸納法,二項式定理的應(yīng)用

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,二項式定理

分析：（Ⅰ）通過二項式定理直接求解第2項，利用冪指數(shù)為0，求出m值及t的值．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}中，a₁=t，a_n=tan-1-，n∈N^*，直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明n=1時，a_n-3能被4整除．然后假設(shè)n=k時命題成立，證明n=k+1時命題也成立即可．

解答： 解：（Ⅰ） T2=

C

1 m

(x

1

5

)m-1(

1

2x

)1=

C

1 m

•

1

2

•x

m-6

5

，…（2分）
故

m-6

5

=0，m=6，t=

C

1 6

•

1

2

=3．                         …（4分）
（Ⅱ）證明：①當(dāng)n=1時，a₁=3，a₁-3=0，能被4整除．
②假設(shè)當(dāng)n=k時，a_k-3能被4整除，即a_k-3=4p，其中p是非負(fù)整數(shù)．
那么當(dāng)n=k+1時，ak+1=34p+3=(1+2)4p+3=

C

0 4p+3

+

C

1 4p+3

•2+

C

2 4p+3

•22+…+

C

4p+3 4p+3

24P+3
=1+8p+6+4(

C

2 4p+3

+…+

C

4p+3 4p+3

24P+1)=3+8p+4+4(

C

2 4p+3

+…+

C

4p+3 4p+3

24P+1)
=3+4(2p+1+

C

2 4p+3

+…+

C

4p+3 4p+3

24P+1)
顯然2p+1+

C

2 4p+3

+…+

C

4p+3 4p+3

24P+1是非負(fù)整數(shù)，
a_k+1-3能被4整除．
由①、②可知，命題對一切n∈N^*都成立．              …（10分）

點評：本題考查二項式定理以及數(shù)學(xué)歸納法證明問題的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．