Question

設函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，且滿足對于任意x，y∈R，都有f（xy）=f（x）+f（y）成立．若f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：運用賦值法，令x=y=3，求出f（9）=2，再由f（xy）=f（x）+f（y），將f（a）＞f（a-1）+2變形為f（a）＞f（9a-9），再根據函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，列出不等式組

a＞0 a-1＞0 a＞9a-9

，解出即可．

解答： 解：∵f（3）=1，f（xy）=f（x）+f（y），
∴令x=y=3，則f（9）=f（3）+f（3）=2f（3）=2，
即f（9）=2，
∵f（a）＞f（a-1）+2，
∴f（a）＞f（a-1）+f（9），
∵f（xy）=f（x）+f（y），
∴f（a-1）+f（9）=f（9a-9），
∴f（a）＞f（9a-9），
∵函數f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，
∴

a＞0 a-1＞0 a＞9a-9

，即

a＞0 a＞1 a＜ 9 8

，
∴1＜a＜

9

8

，
∴實數a的取值范圍是：（1，

9

8

）．

點評：本題主要考查函數的單調性及應用，注意不要忘記函數的定義域，同時考查解決抽象函數問題常用的方法：賦值法，注意條件的反復運用和靈活運用．