【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥底面ABCD,PD⊥AD,PD=AD,E為棱PC的中點
(I)證明:平面PBC⊥平面PCD;
(II)求直線DE與平面PAC所成角的正弦值;
(III)若F為AD的中點,在棱PB上是否存在點M,使得FM⊥BD?若存在,求的值,若不存在,說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析(II)(III)存在,=
【解析】
(I)由面面垂直的性質(zhì)定理得PD⊥底面ABCD,從而可得BC⊥平面PCD,然后可證得面面垂直;
(II)以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各點坐標(biāo),求出平面的法向量和直線的方向向量,平面的法向量和直線的方向向量的余弦的絕對值等于直線與平面所成角的正弦;
(III)設(shè)=λ(0≤λ≤1),由求得即可.
(I)∵平面PAD⊥底面ABCD,又PD⊥AD,
∴PD⊥底面ABCD
∴PD⊥BC
又∵底面ABCD為正方形,BC⊥CD
∴BC⊥平面PCD
∴平面PBC⊥平面PCD,
(II)由(I)知,PD⊥底面ABCD,AD⊥CD
如圖以點D為原點建立空間直角坐標(biāo)系
不妨設(shè)PD=AD=2,可得D(0,0,0),A(2,0,0,),C(0,2,0),P(0,0,2),
由E為棱PC的中點,得E(0,1,1),
向量=(-2,2,0),=(2,0,-2),設(shè)=(x,y,z)為平面PAC的法向量,則
,即
不妨令x=1,可得=(1,1,1)為平面PAC的一個法向量
設(shè)直線DE與平面PAC所成角為θ
所以sinθ==
所以,直線DE與平面PAC所成角的正弦值為
(III)向量=(-2,-2,2),=(2,2,0),=(1,2,0)
由點M在棱PB上,設(shè)=λ(0≤λ≤1)
故=+=(1-2λ,2-2λ,2λ)
由FM⊥DB,得·=0
因此(1-2λ)×2+(2-2λ)×2=0
解得λ=,所以=
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【題目】根據(jù)下圖給出的2000年至2016年我國實際利用外資情況,以下結(jié)論正確的是
A. 2000年以來我國實際利用外資規(guī)模與年份負(fù)相關(guān)
B. 2010年以來我國實際利用外資規(guī)模逐年增加
C. 2008年我國實際利用外資同比增速最大
D. 2010年以來我國實際利用外資同比增速最大
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,以原點為極點,以軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為:.
(1)若曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的普通方程;
(2)若曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),,且曲線與曲線的交點分別為、,求的取值范圍.
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【題目】已知有限集. 如果中元素滿足,就稱為“復(fù)活集”,給出下列結(jié)論:
①集合是“復(fù)活集”;
②若,且是“復(fù)活集”,則;
③若,則不可能是“復(fù)活集”;
④若,則“復(fù)活集”有且只有一個,且.
其中正確的結(jié)論是____________.(填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號)
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【題目】已知函數(shù) .
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,則當(dāng)時,函數(shù)的圖象是否總在直線上方?請寫出判斷過程.
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【題目】設(shè)直線與橢圓相交于,兩個不同的點,與軸相交于點,為坐標(biāo)原點.
(1)證明:;
(2)若,求的面積取得最大值時橢圓的方程.
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【題目】已知ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形,且A,B,C三點對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1+3i,-i,2+i,求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù).
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