【題目】已知數(shù)列的前項和為,,是6與的等差中項.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)是否存在正整數(shù),使不等式恒成立,若存在,求出的最大值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1);(2)存在,.
【解析】
試題分析:(1)解法一:根據(jù)是與的等差中項,利用等差中項得到,當時有,-得:,從而可得數(shù)列通項;解法二:根據(jù)是與的等差中項,利用等差中項得到,根據(jù)該式的結(jié)構(gòu)特征,利用構(gòu)造法,可構(gòu)造出等比數(shù)列,從而求得,進而利用得到數(shù)列的通項;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,數(shù)列是等比數(shù)列,所以可以得到其前項和,代入化簡,討論的奇偶發(fā)現(xiàn),為奇數(shù)時,恒成立;為偶數(shù)時,可將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在固定區(qū)間恒成立問題,利用單調(diào)性可判斷是否存在這樣的正整數(shù).
試題解析:(1)解法一:因為是6與的等差中項,
所以,即,
當時有
得,即對都成立
又根據(jù)有即,所以
所以.所以數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列.
解法二:因為是6與的等差中項
所以,即,
由此得,
又,所以,
所以數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列.
得,即,
所以,當時,,
又時,也適合上式,所以.
(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,
數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,
所以其前項和為.
原問題等價于恒成立.
當為奇數(shù)時,不等式左邊恒為負數(shù),右邊恒為正數(shù),所以對任意正整數(shù)不等式恒成立;
當為偶數(shù)時,等價于恒成立,
令,有,則等價于在恒成立,
因為為正整數(shù),二次函數(shù)的對稱軸顯然在軸左側(cè),
所以當時,二次函數(shù)為增函數(shù),故只須,解得,,所以存在符合要求的正整數(shù),且最大值為11.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若不等式的解集是,求不等式的解集;
(2)當時,對任意的都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高三文科名學(xué)生參加了月份的模擬考試,學(xué)校為了了解高三文科學(xué)生的數(shù)學(xué)、語文情況,利用隨機數(shù)表法從中抽取名學(xué)生的成績進行統(tǒng)計分析,抽出的名學(xué)生的數(shù)學(xué)、語文成績?nèi)缦卤?
(1)將學(xué)生編號為:, 若從第行第列的數(shù)開始右讀,請你依次寫出最先抽出的 個人的編號(下面是摘自隨機用表的第四行至第七行)
(2)若數(shù)學(xué)優(yōu)秀率為,求的值;
(3)在語文成績?yōu)榱嫉膶W(xué)生中,已知,求數(shù)學(xué)成績“優(yōu)”比“良”的人數(shù)少的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市有一直角梯形綠地,其中,km,km.現(xiàn)過邊界上的點處鋪設(shè)一條直的灌溉水管,將綠地分成面積相等的兩部分.
(1)如圖①,若為的中點,在邊界上,求灌溉水管的長度;
(2)如圖②,若在邊界上,求灌溉水管的最短長度.
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【題目】為了整頓食品的安全衛(wèi)生,食品監(jiān)督部門對某食品廠生產(chǎn)甲、乙兩種食品進行了檢測調(diào)研,檢測某種有害微量元素的含量,隨機在兩種食品中各抽取了10個批次的食品,每個批次各隨機地抽取了一件,下表是測量數(shù)據(jù)的莖葉圖(單位:毫克).
規(guī)定:當食品中的有害微量元素的含量在時為一等品,在為二等品,20以上為劣質(zhì)品.
(1)用分層抽樣的方法在兩組數(shù)據(jù)中各抽取5個數(shù)據(jù),再分別從這5個數(shù)據(jù)中各選取2個,求甲的一等品數(shù)與乙的一等品數(shù)相等的概率;
(2)每生產(chǎn)一件一等品盈利50元,二等品盈利20元,劣質(zhì)品虧損20元,根據(jù)上表統(tǒng)計得到甲、乙兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品的頻率,分別估計這兩種食品為一等品、二等品、劣質(zhì)品的概率,若分別從甲、乙食品中各抽取1件,設(shè)這兩件食品給該廠帶來的盈利為,求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)在時取得極值,求實數(shù)的值;
(2)若對任意恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解高三年級學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況,抽取甲、乙兩班,調(diào)查這兩個班的學(xué)生在寒假期間每天平均學(xué)習(xí)的時間(單位:小時),統(tǒng)計結(jié)果繪成頻率分別直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同,甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時間在區(qū)間的有8人.
(I)求直方圖中的值及甲班學(xué)生每天平均學(xué)習(xí)時間在區(qū)間的人數(shù);
(II)從甲、乙兩個班每天平均學(xué)習(xí)時間大于10個小時的學(xué)生中任取4人參加測試,設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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