Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=DC，E、F分別為AB、PB的中點(diǎn)．
（1）求證：EF⊥CD；
（2）求DB與平面DEF所成角的正弦值；
（3）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）先證明EF∥PA，再證明CD⊥平面PAD，即可證明EF⊥CD；
（2）利用V_F-DEB=V_B-DEF，可求B到平面DEF的距離，即可求DB與平面DEF所成角的正弦值；
（3）G是AD的中點(diǎn)．取PC的中點(diǎn)H，連結(jié)DH，證明DH⊥平面PCB，取DA中點(diǎn)G，連結(jié)GF、FH．證明四邊形DGFH為平行四邊形即可．

解答： （1）證明：∵E、F分別是AB、PB的中點(diǎn)，∴EF∥PA
∵ABCD為正方形，∴AD⊥CD
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD
∵AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD
∵PA?平面PAD，∴PA⊥CD
∴EF⊥CD；
（2）解：設(shè)B到平面DEF的距離為h，AB=a，則由題意

1

3

S△DEF•d=

1

3

S△DEB•FO.

∵EF2+DF2= 2 4 a2+ 3 4 a2= 5 4 a2=DE2

，∴∠DEF=90°．
∴S△DEF=

6

8

a2，
∴

1

3

×

6

8

a2h=

1

24

a3，
∴h=

6

6

a
∵BD=

2

a
∴DB與平面DEF所成角的正弦值為

6 6 a

2 a

=

3

6

；
（3）解：G是AD的中點(diǎn)．
取PC的中點(diǎn)H，連結(jié)DH．∵PD=DC，∴DH⊥PC
又∵BC⊥平面PDC，∴BC⊥DH，∴DH⊥平面PCB．
取DA中點(diǎn)G，連結(jié)GF、FH．
∵HF

∥ .

.

1

2

BC

∥ .

.

DG，∴四邊形DGFH為平行四邊形，
∴DH∥GF，∴GF⊥平面PCB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線(xiàn)面垂直，考查三棱錐體積的計(jì)算，考查直線(xiàn)與平面所成角的正弦值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．