Question

11．已知函數(shù)f（x）=log₂x+ax+2．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)并給出代數(shù)證明．

Answer 1

分析 （1）由a=0，解方程log₂x+2=0，可得零點(diǎn)；
（2）求得f（1）＞0，f（$\frac{1}{8}$）＜0，判斷f（x）的單調(diào)性，再由零點(diǎn)存在定理，即可判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=log₂x+2=0，即log₂x=-2，
解得$x={2^{-2}}=\frac{1}{4}$，
∴函數(shù)f（x）的零點(diǎn)是$x=\frac{1}{4}$；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=log₂x+x+2，
∵f（1）=（log₂1+1+2）=3＞0，$f（\frac{1}{8}）=（{log_2}\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+2）=-\frac{7}{8}＜0$，
且f（x）的圖象在定義域內(nèi)連續(xù)，
∴f（x）在區(qū)間$（\frac{1}{8}，1）$內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，
又∵f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
故f（x）在定義域內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的求法和判斷，注意運(yùn)用方程的思想和函數(shù)零點(diǎn)存在定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．