Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y+m=0．
（1）若直線x+2y-4=0與這個圓相交于M，N兩點，且CM⊥CN（C為圓心），求m的值；
（2）當m=-4，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由；
（3）若直線l：y=kx與（2）中的圓C交于P，Q兩點，點M（0，a）滿足MP⊥MQ，若k＞3時，求滿足條件的實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）由CM⊥CN得到圓心到直線的距離等于

2

2

r，即可得到m的值．
（2）利用l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過原點，建立條件方程即可得到結論．
（3）利用直線和圓的位置關系，轉化為關于x的一元二次方程，利用根與系數之間的關系，建立方程關系即可得到結論．

解答： 解：（1）圓的標準方程為（x-1）²+（y+2）²=5-m，圓心C（1，-2），半徑r=

5-m

，
若CM⊥CN（C為圓心），則圓心到直線x+2y-4=0的距離d=

2

2

r，
即

|1+4-4|

1+4

=

1

5

=

2

2

•

5-m

，即m=

23

5

．
（2）圓C化成標準方程為（x-1）²+（y+2）²=9，假設存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標為（a，b）．
∵CM⊥l，即k_CM•k_l=

b+2

a-1

×1=-1
∴b=-a-1
∴直線l的方程為y-b=x-a，即x-y-2a-1=0
∴|CM|²=（

|1+2-2a-1|

2

）²=2（1-a）²
∴|MB|²=|CB|²-|CM|²=-2a²+4a+7
∵|MB|=|OM|
∴-2a²+4a+7=a²+b²，得a=-1或

3

2

，
當a=

3

2

時，b=-

5

2

，此時直線l的方程為x-y-4=0
當a=-1時，b=0，此時直線l的方程為x-y+1=0
故這樣的直線l是存在的，方程為x-y-4=0或x-y+1=0．
（3）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將y=kx代入 x²+y²-2x+4y-4=0得（1+k²）x²+（4k-2）x-4=0，
則x₁+x₂=-

4k-2

1+k2

，x₁x₂=-

4

1+k2

．
∵MP⊥MQ，
∴

MP

•

MQ

=0，
即x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）=0．
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，
∴（1+k²）x₁x₂-ka（x₁+x₂）+a²=0，
∴（1+k²）（ -

4

1+k2

）-ka（-

4k-2

1+k2

）+a²=0．
即-4+a•

k(4k-2)

1+k2

+a²=0，
當a=0時，此式不成立，
從而a-

4

a

=

k(2-4k)

1+k2

，
設f（k）=

k(2-4k)

1+k2

，
則f′（k）=

-2(k+2)2+10

(1+k2)2

，
又∵k＞3，
∴f′（k）=

-2(k+2)2+10

(1+k2)2

＜0，即函數f（k）在（3，+∞）上單調遞減，
即f（k）＜f（3）=

3(2-3×4)

1+32

=-3，
即 a-

4

a

=

k(2-4k)

1+k2

＜-3，
若a＞0，則不等式為a²+3a-4＜0，解得-4＜a＜1，此時0＜a＜1，
若a＜0，則不等式為a²+3a-4＞0，解得a＜-4或a＞1，此時a＜-4，
綜上0＜a＜1或a＜-4．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，平面向量的數量積運算法則，韋達定理，研究利用導數研究函數的單調性，是一道綜合性較強的試題