Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列．
（1）若b=

3

2

，求a+c的取值范圍；
（2）若

1

a

，

1

b

，

1

c

也成等差數(shù)列，求A、C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由A、B、C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出B的度數(shù)，得到sinB的值，再由b的值，利用正弦定理表示出a與c，代入a+c中，用A表示出B，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的值域即可確定出a+c的范圍；
（2）由

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用正弦定理化簡(jiǎn)，將sinB的值代入，利用和差化積公式變形，設(shè)cos

A-C

2

=t，得到關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，即為cos

A-C

2

的值，即可確定出A與C的度數(shù)．

解答： 解：（1）∵A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，
∴B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
∵b=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3 2

3 2

=1，即a=sinA，c=sinC，
∴a+c=sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

（

3

2

sinA+

1

2

cosA）=

3

sin（A+

π

6

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，即

3

2

＜

3

sin（A+

π

6

）≤

3

，
則a+c的范圍為（

3

2

，

3

]；
（2）∵

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，
∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，
∴由正弦定理化簡(jiǎn)得：

1

sinA

+

1

sinC

=

2

sin π 3

=

4

3

，
整理得：sinA+sinC

4

3

sinAsinC，
∴2sin

A+C

2

cos

A-C

2

=-

4

3

×

1

2

[cos（A+C）-cos（A-C）]，
即

3

cos

A-C

2

+

2

3

[-

1

2

-cos（A-C）]=0，
設(shè)cos

A-C

2

=t，則有3t-1-2（2t²-1）=0，
整理得：（4t+1）（t-1）=0，
解得：t=-

1

4

（舍去）或t=1，
∴cos

A-C

2

=1，即A-C=0，
∴A=C=B=60°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．