Question

1．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l與圓x²+y²=2相切．
（1）若直線l分別與x、y軸正半軸交于A、B兩點(diǎn)，求△AOB面積的最小值及面積取得最小值時(shí)的直線l的方程．
（2）設(shè)直線l交橢圓$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1于P、Q兩點(diǎn)，M為PQ的中點(diǎn)，求|OM|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線方程，由直線和圓相切的條件：d=r，結(jié)合基本不等式，即可得到面積的最小值和此時(shí)直線的方程；
（2）討論直線的斜率不存在和存在，設(shè)出直線方程為y=kx+m，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合判別式大于0，化簡(jiǎn)整理即可得到所求范圍．

解答 解：（1）設(shè)直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a，b＞0），
由直線和圓x²+y²=4相切，可得$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{1}{2}$≥$\frac{2}{ab}$，即ab≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)，取得等號(hào)．
則△AOB面積S=$\frac{1}{2}$ab的最小值為2；
此時(shí)直線的方程為x+y-2=0；
（2）若直線的斜率不存在，設(shè)為x=t，
由直線和圓相切可得，t=-$\sqrt{2}$或$\sqrt{2}$．
代入橢圓方程可得，y=±$\sqrt{2}$，
可得中點(diǎn)M坐標(biāo)為（-$\sqrt{2}$，0）或（$\sqrt{2}$，0），|OM|=$\sqrt{2}$；
設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程可得，
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0，
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-6）＞0，
即為m²＜3+6k²，
由直線和圓相切，可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
即為m²=2+2k²，由2+2k²＜3+6k²，可得k∈R，
設(shè)P，Q的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
即有|OM|=$\sqrt{（-\frac{2km}{1+2{k}^{2}}）^{2}+（\frac{m}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（2+2{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$
設(shè)1+2k²=t（t≥1），則|OM|=$\frac{\sqrt{（2t-1）（t+1）}}{t}$=$\sqrt{2+\frac{1}{t}-\frac{1}{{t}^{2}}}$
=$\sqrt{-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{9}{4}}$，由t≥1可得t=2取得最大值$\frac{3}{2}$，
t=1時(shí)，取得最小值$\sqrt{2}$．
故|OM|的范圍是[$\sqrt{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓相切的條件，直線和橢圓的位置關(guān)系，注意聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．