Question

11．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁上一點(diǎn)，P是A₁B₁上一點(diǎn)，N是D₁C₁中點(diǎn)，且DM，NP相交于一點(diǎn)Q，求證：
（1）Q，A₁，D₁三點(diǎn)共線；
（2）MP∥DN．

Answer 1

分析 （1）由已知推導(dǎo)出Q是平面DQD₁和平面NQD₁的公共點(diǎn)，平面DQD₁∩平面NQD₁=QD₁，由此利用公理二能證明Q，A₁，D₁三點(diǎn)共線．
（2）由平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁，MP?平面ABB₁A₁，DN?平面DCC₁D₁，得MP與DN平行或異面，再由DM，NP相交于一點(diǎn)Q，能證明MP∥DN．

解答 證明：（1）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M是AA₁上一點(diǎn)，P是A₁B₁上一點(diǎn)，
N是D₁C₁中點(diǎn)，且DM，NP相交于一點(diǎn)Q，
∴Q∈DM，且Q∈NP，
∵DM?平面DQD₁，∴Q∈平面DQD₁，
∵NP?平面NQD₁，∴Q∈平面NQD₁，
∵平面DQD₁∩平面NQD₁=QD₁，
∴由公理二得Q∈QD₁，
∴Q，A₁，D₁三點(diǎn)共線．
（2）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，平面ABB₁A₁∥平面DCC₁D₁，
MP?平面ABB₁A₁，DN?平面DCC₁D₁，
∴MP與DN平行或異面，
∵DM，NP相交于一點(diǎn)Q，∴MP與DN共面，
∴MP∥DN．

點(diǎn)評 本題考查三點(diǎn)共線的證明，考查兩直線平行的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．