Question

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點O重合，極軸與直角坐標系的非負半軸重合，直線l的參數方程為

x=t y=2+2t

（參數t∈R），曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ．
（Ⅰ）求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與曲線C相交于A、B兩點，求證：

OA

•

OB

=0．

Answer 1

考點：參數方程化成普通方程,平面向量數量積的運算

專題：坐標系和參數方程

分析：（Ⅰ）消去參數t，把直線l的參數方程化為普通方程；利用極坐標公式，化曲線C的極坐標方程為普通方程．
（Ⅱ）設直線l與曲線C交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，由

2x-y+2=0 x2=2y

，求出x₁，y₁，x₂，y₂的關系，從而計算

OA

•

OB

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l的參數方程為

x=t y=2+2t

（參數t∈R），
消去參數t，得普通方程是2x-y=-2，
即2x-y+2=0；
∵曲線C的極坐標方程為ρcos²θ=2sinθ，
∴ρ²cos²θ=2ρsinθ，
化為普通方程是x²=2y．
（Ⅱ）證明：設直線l與曲線C相交于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）兩點，
則

2x-y+2=0 x2=2y

，
消去y，得x²-4x-4=0；
∴x₁+x₂=4，x₁x₂=-4；
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（2x₁+2）（2x₂+2）
=x₁x₂+4[（x₁+x₂）+x₁x₂+1]
=-4+4×[4-4+1]=0．

點評：本題考查了參數方程與極坐標以及向量的綜合應用問題，解題時應先把參數方程與極坐標化為普通方程，再利用向量的知識解答，是綜合題．