Question

7．橢圓$\frac{x^2}{100}$+$\frac{y^2}{64}$=1的兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上一點(diǎn)，滿足∠F₁PF₂=60°，則三角形F₁PF₂的面積$\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 依題意，在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，|F₁P|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=12，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，從而可求得△PF₁F₂的面積．

解答 解：∵橢圓的方程為$\frac{x^2}{100}$+$\frac{y^2}{64}$=1，
∴a=10，b=8，c=6．
又∵P為橢圓上一點(diǎn)，∠F₁PF₂=60°，F(xiàn)₁、F₂為左、右焦點(diǎn)，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=20，|F₁F₂|=12，
∴|F₁F₂|²=（|PF₁|+|PF₂|）²-2|F₁P|•|PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=400-3|F₁P|•|PF₂|=144，
∴|F₁P|•|PF₂|=$\frac{256}{3}$，
∴S△PF₁F₂=$\frac{1}{2}$|F₁P|•|PF₂|sin60°
=$\frac{1}{2}$×$\frac{256}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{64\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{64\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的定義和方程、簡單性質(zhì)，考查余弦定理的應(yīng)用與三角形的面積公式，屬于中檔題．