16.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且|A1A2|=4$\sqrt{3}$,P為橢圓上異于A1,A2的點,PA1和PA2的斜率之積為-$\frac{1}{3}$.以M(-3,2)為圓心,r為半徑的圓與橢圓C交于A,B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若A,B兩點關(guān)于原點對稱,求圓M的方程;
(3)若點A的坐標(biāo)為(0,2),求△ABM的面積.

分析 (1)由題意求出a=2$\sqrt{3}$,設(shè)P(x0,y0),A1(-2$\sqrt{3}$,0),A2(2$\sqrt{3}$,0),由PA1和PA2的斜率之積為-$\frac{1}{3}$,得到$\frac{x_0^2}{12}+\frac{y_0^2}{4}=1$,再由P(x0,y0)在橢圓$\frac{{x_{\;}^2}}{12}+\frac{{y_{\;}^2}}{b^2}=1$上,可得b2=4,則橢圓C的方程可求;
(2)由A,B兩點關(guān)于原點對稱,可知O是AB的中點,結(jié)合垂徑定理可知MO⊥AB,進一步得到直線MO的斜率,得到直線AB的斜率,則直線AB的方程可求,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求出A的坐標(biāo)由勾股定理得圓的半徑,則圓M的方程可求;
(3)由題意知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,聯(lián)立直線方程和橢圓方程,化為關(guān)于x的一元二次方程,求得B的坐標(biāo),進一步得線段AB的中點E的坐標(biāo),求得直線ME的斜率,結(jié)合題意列式求得AB的斜率,得到直線AB的方程為y=x+2,求出|AB|,由點到直線的距離公式求得點M到直線AB的距離,代入△ABM的面積公式得答案.

解答 解:(1)由題意可知2a=4$\sqrt{3}$,即a=2$\sqrt{3}$,
設(shè)P(x0,y0),A1(-2$\sqrt{3}$,0),A2(2$\sqrt{3}$,0),
由題意可得${K_{P{A_1}}}•{K_{P{A_2}}}=\frac{y_0}{{{x_0}+2\sqrt{3}}}•\frac{y_0}{{{x_0}-2\sqrt{3}}}=\frac{y_0^2}{x_0^2-12}=-\frac{1}{3}$,
即12-$x_0^2=3y_0^2$,∴$\frac{x_0^2}{12}+\frac{y_0^2}{4}=1$,
又P(x0,y0)在橢圓$\frac{{x_{\;}^2}}{12}+\frac{{y_{\;}^2}}{b^2}=1$上,故b2=4,
即橢圓C的方程為$\frac{{x_{\;}^2}}{12}+\frac{{y_{\;}^2}}{4}=1$;
(2)∵A,B兩點關(guān)于原點對稱,∴O是AB的中點,
由垂徑定理可知MO⊥AB,又M(-3,2),
∴直線MO的斜率為-$\frac{2}{3}$,故直線AB的斜率為$\frac{3}{2}$,
則直線AB的方程為y=$\frac{3}{2}$x,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x_{\;}^2}}{12}+\frac{{y_{\;}^2}}{4}=1\\ y=\frac{3}{2}x\end{array}\right.$,解得$x_A^2=\frac{48}{31},y_A^2=\frac{108}{31}$,
由勾股定理得r2=MA2=MO2+OA2=9+4+$\frac{48}{31}+\frac{108}{31}=\frac{559}{31}$,
∴圓M的方程為(x+3)2+(y-2)2=$\frac{559}{31}$;
(3)由題意知直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+2,
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$,得(1+3k2)x2+12kx=0,
則B($-\frac{12k}{{1+3{k^2}}},\frac{{2-6{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$),線段AB的中點為E($-\frac{6k}{{1+3{k^2}}},\frac{2}{{1+3{k^2}}}$),
直線ME的斜率為$\frac{{\frac{2}{{1+3{k^2}}}-2}}{{-\frac{6k}{{1+3{k^2}}}-(-3)}}=\frac{{-2{k^2}}}{{3{k^2}-2k+1}}$,
∵AB⊥ME,∴$\frac{{-2{k^2}}}{{3{k^2}-2k+1}}$•k=-1,
∴2k3-3k2+2k-1=0,即(k-1)(2k2-k+1)=0,解得k=1,
∴直線AB的方程為y=x+2,
又B(-3,-1),得|AB|=3$\sqrt{2}$,
而點M到直線AB的距離為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$,
故△ABM的面積為$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{9}{2}$.

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),是直線與圓、圓錐曲線的綜合題,訓(xùn)練了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用,考查計算能力,屬有一定難度題目.

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