Question

12．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）若一條不與y軸垂直的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，A為橢圓的下頂點(diǎn)，且|AM|=|AN|，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{2^{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2））A（0，-1），設(shè)直線l的方程為y=kx+m，（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)為P（x₀，y₀），與橢圓方程聯(lián)立可得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得P坐標(biāo)．由|AM|=|AN|，可得AP⊥MN，利用斜率關(guān)系可得2m=3k²+1，再利用△＞0，即可得出．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{\frac{2^{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，∴$a=\sqrt{3}，b=1$，c=$\sqrt{2}$．
故橢圓方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）A（0，-1），設(shè)直線l的方程為y=kx+m，（k≠0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
線段MN的中點(diǎn)為P（x₀，y₀）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得：（3k²+1）x²+6kmx+3（m²-1）=0，
則${x_1}+{x_2}=-\frac{6km}{{3{k^2}+1}}$，
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}$，
${y_0}=k{x_0}+m=\frac{m}{{3{k^2}+1}}$，
∵|AM|=|AN|，
∴AP⊥MN，
∴$\frac{{\frac{m}{{3{k^2}+1}}+1}}{{-\frac{3km}{{3{k^2}+1}}}}=-\frac{1}{k}$，
∴2m=3k²+1   ①
∵△＞0，∴3k²-m²+1＞0   ②
把①代入②得：0＜m＜2，
又由②得：3k²=2m-1＞0，
∴$m＞\frac{1}{2}$．
綜上可得：$\frac{1}{2}＜m＜2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．