Question

已知函數(shù)f（x）=2|sinx|+3sinx，x∈[-π，π]
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-k；
①討論函數(shù)g（x）的零點個數(shù)；
②若存在x∈[-

π

4

，

5π

6

]，使不等式g（x）≥k²+5成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)sinx的符號化簡解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的值域；
（2）①根據(jù)（1）化簡的解析式、正弦函數(shù)的圖象作出f（x）的大致圖象，由圖得直線y=k與y=f（x）的圖象交點個數(shù)以及對應(yīng)k的取值范圍；
②根據(jù)圖象和x的范圍求出f（x）的值域，再求出g（x）的最大值，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為g(x)max≥k2+5，解關(guān)于k得不等式即可．

解答： 解：（1）由題意得，f（x）=2|sinx|+3sinx=

sinx，-π≤x≤0 5sinx，0＜x≤π

----------（3分）
當(dāng)-π≤-x≤0時，f（x）∈[-1，0]；當(dāng)0＜x≤π時，f（x）∈（0，5]，
所以f（x）的值域為f（x）∈[-1，5]；----------------------（6分）
（2）①由（1）得，f(x)=

sinx，-π≤x≤0 5sinx，0＜x≤π

，作出f（x）的大致圖象如圖所示：----（8分）
函數(shù)g（x）=f（x）-k零點個數(shù)，即方程f（x）-k=0或f（x）=k的實根個數(shù)，
也即直線y=k與y=f（x）的圖象交點個數(shù)，
由圖象可知，當(dāng)k＜-1或k＞5時，函數(shù)沒有零點；
當(dāng)k=-1或k=5時，函數(shù)有一個零點；
當(dāng)-1＜k＜0或0＜k＜5時，函數(shù)有兩個零點；
當(dāng)k=0時，函數(shù)有三個零點．--------（12分）
②由x∈[-

π

4

，

5π

6

]和圖象得，f(x)∈[-

2

2

，5]，
故g（x）_max=5-k，
因為存在x∈[-

π

4

，

π

3

]，使不等式g（x）≥k²+5成立，
只需g(x)max=5-k≥k2+5，即k（k+1）≤0，
所以k的取值范圍是[-1，0]------（16分）

點評：本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，分段函數(shù)值域，函數(shù)零點的轉(zhuǎn)化，恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，以及數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想．