Question

某高校的自主招生考試設(shè)置了自薦、筆試和面試三個(gè)環(huán)節(jié)，并規(guī)定某個(gè)環(huán)節(jié)通過后才能進(jìn)入下一環(huán)節(jié)，且三個(gè)環(huán)節(jié)都通過才能被錄�。�某學(xué)生A三個(gè)環(huán)節(jié)依次通過的概率組成一個(gè)公差為

1

8

的等差數(shù)列，且第一個(gè)環(huán)節(jié)不通過的概率超過

1

2

，第一個(gè)環(huán)節(jié)通過但第二個(gè)環(huán)節(jié)不通過的概率為

5

32

，假定每個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生是否通過是相互獨(dú)立的．
（Ⅰ）求學(xué)生A被錄取的概率；
（Ⅱ）記學(xué)生A通過的環(huán)節(jié)數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)第一、二、三關(guān)通過的概率依次是a，a+

1

8

，a+

1

4

，由題意知

1-a＞ 1 2 a[1-(a+ 1 8 )]= 5 32

，由此能求出a，從而能求出學(xué)生A被錄取的概率．
（Ⅱ）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3）．由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)第一、二、三關(guān)通過的概率依次是a，a+

1

8

，a+

1

4

，
則由題意知

1-a＞ 1 2 a[1-(a+ 1 8 )]= 5 32

，
解得a=

1

4

，
∴學(xué)生A被錄取的概率p=

1

4

×

3

8

×

1

2

=

3

64

．
（Ⅱ）由題意知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=1-

1

4

=

3

4

，
P（ξ=1）=

1

4

×[1-(

1

4

+

1

8

)]=

5

32

，
P（ξ=2）=

1

4

×(

1

4

+

1

8

)×[1-(

1

4

+

1

4

)]=

3

64

，
P（ξ=3）=

1

4

×(

1

4

+

1

8

)×(

1

4

+

1

4

)=

3

64

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	3 4	5 32	3 64	3 64

∴Eξ=0×

3

4

+1×

5

32

+2×

3

64

+3×

3

64

=

25

64

ξ	0	1	2	3
P	3 4	5 32	3 64	3 64

∴Eξ=0×

3

4

+1×

5

32

+2×

3

64

+3×

3

64

=

25

64

．

點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型．