Question

設(shè)a，b為實常數(shù)，k取任意實數(shù)時，y=（k²+k+1）x²-2（a+k²）x+（k²+3ak+b）的圖象與x軸都交于點A（1，0）．求a，b的值；若函數(shù)與x軸的另一個交點為B，當(dāng)k變化時，求|AB|的最大值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由y=（k²+k+1）x²-2（a+k²）x+（k²+3ak+b）的圖象與x軸都交于點A（1，0），代入可得∴（k²+k+1）-2（a+k²）+（k²+3ak+b）=0恒成立，進而可得1-a=0且1+b-2a²=0，解方程可得a，b的值；設(shè)B為（m，0），則|AB|=|m-1|，利用韋達定理可得1×m=

k2+3k+1

k2+k+1

，即（1-m）k²+（3-m）k+（1-m）=0有實根，根據(jù)△≥0構(gòu)造關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍，可得答案．

解答： 解：∵k取任意實數(shù)時，y=（k²+k+1）x²-2（a+k²）x+（k²+3ak+b）的圖象與x軸都交于點A（1，0）．
∴（k²+k+1）-2（a+k²）+（k²+3ak+b）=0恒成立，
∴k（1-a）+1+b-2a²=0恒成立，
∴1-a=0且1+b-2a²=0
解得a=1，b=1
設(shè)B為（m，0），則|AB|=|m-1|．
∵m、1是（k²+k+1）x²-2（1+k²）x+（k²+3k+1）=0 的兩根，
∴1×m=

k2+3k+1

k2+k+1

即（1-m）k²+（3-m）k+（1-m）=0有實根
∵△=（3-m）²-4（1-m）²≥0
即3m²-2m-5≤0
解得-2≤m-1≤

2

3

∴|AB|=|m-1|≤2，當(dāng)k=-1時，等號成立．
∴|AB|的最大值為2．

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象過定點，韋達定理，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，綜合性強，難度較大．