Question

已知拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F以及橢圓C₂：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)及左、右頂點(diǎn)均在圓O：x²+y²=1上．
（1）求拋物線C₁和橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F的直線交拋物線C₁于A，B兩不同點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)N，已知

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

，則λ₁+λ₂是否為定值？若是，求出其值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程確定等量關(guān)系，求解拋物線方程；根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)和右定點(diǎn)也在圓上，確定橢圓方程；
（2）利用已知的向量關(guān)系式進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)化求出λ₁=

x1

1-x1

，λ₂=

x2

1-x2

然后通過直線與拋物線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理進(jìn)行化簡λ₁+λ₂并求值．

解答： 解：（1）由拋物線C₁：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（

p

2

，0）在圓O：x²+y²=1上得：

p2

4

=1
∴p=2，
∴拋物線C₁：y²=4x（3分）
同理由橢圓C₂：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)（0，c），（0，-c）
及左、右頂點(diǎn)（-b，0），（b，0）均在圓O：x²+y²=1上可解得：b=c=1，
∴a=

2

．
得橢圓C₂：x²+

y2

2

=1．（6分）
（2）λ₁+λ₂是定值，且定值為-1．
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則N（0，k）．
聯(lián)立方程組

y2=4x y=k(x-1)

，消去y得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴△=16k²+16＞0，且

x1+x2= 2k2+4 k2 x1x2=1

，（9分）
由

NA

=λ1

AF

，

NB

=λ2

BF

得：λ₁（1-x₁）=x₁，λ₂（1-x₂）=x₂，
整理得：λ₁=

x1

1-x1

，λ₂=

x2

1-x2

，
λ₁+λ₂=

x1+x2-2x1x2

1-(x1+x2)+x1x2

=

2k2+4-2 k2

1- 2k2+4 k2 +1

=-1  （13分）

點(diǎn)評：本題考查拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．