Question

直線l：ax-y-1=0與曲線C：x²-2y²=1交于P、Q兩點，
（1）當(dāng)實數(shù)a為何值時，|PQ|=2

1+a2

．
（2）是否存在a的值，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立

ax-y-1=0 x2-2y2=1

，得（1-2a²）x²+4ax-3=0．由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實數(shù)a的值．
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，由OP⊥OQ，推導(dǎo)出a²=-2與a為實數(shù)矛盾，從而得到不存在實數(shù)a使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點

解答： 解：（1）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立

ax-y-1=0 x2-2y2=1

，得（1-2a²）x²+4ax-3=0．
若1-2a²=0，即a=±

2

2

時，l與C的漸近線平行，
l與C只有一個交點，與題意不合，
∴1-2a²≠0，∵△=（4a）²-4（1-2a²）（-3）＞0，∴-

6

2

＜a＜

6

2

．

x1+x2=- 4a 1-2a2 x1x2=- 3 1-2a2

，（*）
∴|PQ|=

1+a2

|x₁-x₂|=2

1+a2

．
∴（x₁-x₂）²=4，∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4．
∴（-

4a

1-2a2

）²-4•

(-3)

1-2a2

=4．
∴a=±1∈（-

6

2

，

6

2

）．
∴所求的實數(shù)a的值為a=±1．
（2）假設(shè)存在實數(shù)a，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點O，
則由OP⊥OQ，得y₁•y₂=-x₁•x₂．
∴（ax₁-1）•（ax₂-1）=-x₁•x₂，
∴（1+a²）x₁•x₂-a（x₁+x₂）+1=0．
把（*）式代入得：a²=-2與a為實數(shù)矛盾，
∴不存在實數(shù)a使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過原點．

點評：本題考查實數(shù)的值的求法，考查滿足條件的實數(shù)是否存在，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式和韋達(dá)定理的合理運用．