Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足$\frac{a_1}{9}+\frac{a_2}{7}+\frac{a_3}{5}+…+\frac{a_n}{11-2n}$=n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；   
（2）求數(shù)列{|a_n|}前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系可得a_n；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，可得S_n=10n-n²．令a_n=11-2n≥0，解得n≤5．當(dāng)n≤5時(shí)，數(shù)列{|a_n|}前n項(xiàng)和T_n=S_n．當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{|a_n|}前n項(xiàng)和T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n=2S₅-S_n，即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足$\frac{a_1}{9}+\frac{a_2}{7}+\frac{a_3}{5}+…+\frac{a_n}{11-2n}$=n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{{a}_{1}}{9}$=1，解得a₁=9．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{{a}_{1}}{9}+\frac{{a}_{2}}{7}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{13-2n}$=n-1，
相減可得：$\frac{{a}_{n}}{11-2n}$=1，
∴a_n=11-2n．當(dāng)n=1時(shí)也成立．
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，可得S_n=$\frac{n（9+11-2n）}{2}$=10n-n²．
令a_n=11-2n≥0，解得n≤5．
∴當(dāng)n≤5時(shí)，數(shù)列{|a_n|}前n項(xiàng)和T_n=S_n=10n-n²．
當(dāng)n≥6時(shí)，數(shù)列{|a_n|}前n項(xiàng)和T_n=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n
=2S₅-S_n
=50-10n+n²．
綜上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{10n-{n}^{2}，n≤5}\\{{n}^{2}-10n+50，n≥6}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用、分類討論方法、含絕對(duì)值數(shù)列求和問(wèn)題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．