Question

已知0＜a＜1，0＜b＜1，求證：

a2+(1-b)2

+

(1-a)2+b2

≥

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專(zhuān)題：證明題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：依題意，利用基本不等式a²+（1-b）²≥2a（1-b）⇒

a2+(1-b)2

≥

2

2

[a+（1-b）]…①，同理可得

(1-a)2+b2

≥

2

2

[（1-a）+b]…②，二者聯(lián)立即可證得結(jié)論．

解答： 證明：∵0＜a＜1，0＜b＜1，故0＜1-b＜1，
∴a²+（1-b）²≥2a（1-b），
∴2[a²+（1-b）²]≥a²+2a（1-b）+（1-b）²=[a+（1-b）]²，
∴a²+（1-b）²≥

1

2

[a+（1-b）]²，
∴

a2+(1-b)2

≥

2

2

[a+（1-b）]…①
同理可得，

(1-a)2+b2

≥

2

2

[（1-a）+b]…②
①+②得：

a2+(1-b)2

+

(1-a)2+b2

≥

2

2

[a+（1-b）+（1-a）+b]=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，著重考查基本不等式的變形與應(yīng)用，考查推理論證能力，屬于難題