Question

從正方體的各個(gè)棱面上的12條面對(duì)角線中任取兩條，設(shè)ξ為兩條面對(duì)角線所成的角（用弧度制表示），如當(dāng)兩條面對(duì)角線垂直時(shí)，ξ=

π

2

（1）求概率P（ξ=0）；
（2）求ξ的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E（ξ）．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）當(dāng)ξ=0時(shí)，即所選的兩條面對(duì)角線平行，由此能求出P（ξ=0）．
（Ⅱ）由題意知ξ=0，

π

3

，

π

2

，分別求出P（ξ=0），P（ξ=

π

3

），P（ξ=

π

2

），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)ξ=0時(shí)，即所選的兩條面對(duì)角線平行．
則P（ξ=0）=

6

C 2 12

=

1

11

．（4分）
（Ⅱ）由題意知ξ=0，

π

3

，

π

2

，
P（ξ=0）=

6

C 2 12

=

1

11

，
P（ξ=

π

3

）=

48

C 2 12

=

8

11

，
P（ξ=

π

2

）=

12

C 2 12

=

2

11

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	π 3	π 2
P	1 11	8 11	2 11

（10分）
Eξ=0×

1

11

+

π

3

×

8

11

+

π

2

×

2

11

=

π

3

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是歷年高考的必考題型之一，解題時(shí)要注意排列組合知識(shí)的靈活運(yùn)用，是中檔題．