Question

2．x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]時，函數(shù)y=3-sinx-2cos²x的值域為[$\frac{7}{8}$，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系公式，將函數(shù)解析式化為y=2sin²x-sinx+1，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，令t=sinx，結合二次函數(shù)的圖象和性質，可得答案．

解答 解：y=3-sinx-2cos²x=2sin²x-sinx+1，x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
令t=sinx，則t∈[-$\frac{1}{2}$，1]，y=2t²-t+1，
由y=2t²-t+1的圖象是開口朝上，且以直線t=$\frac{1}{4}$為對稱軸的拋物線，
故當t=$\frac{1}{4}$時，y取最小值$\frac{7}{8}$，當t=-$\frac{1}{2}$，或t=1時，y取最大值2，
故函數(shù)的值域為[$\frac{7}{8}$，2]，
故答案為：[$\frac{7}{8}$，2]．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，正弦函數(shù)的圖象和性質，同角三角函數(shù)的基本關系公式，難度中檔．