Question

17．已知α，β是關(guān)于x的方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的兩個根，是否存在θ∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]，使|α-β|≤2$\sqrt{2}$，若存在，試求角θ的集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 由韋達(dá)定理和一元二次方程根的存在性可得cosθ的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可得．

解答 解：∵α，β是關(guān)于x的方程x²+2（cosθ+1）x+cos²θ=0的兩個根，
∴△=4（cosθ+1）²-4（cosθ）²≥0，解得cosθ≥-$\frac{1}{2}$  ①
由韋達(dá)定理得α+β=-2（cosθ+1），αβ=cos²θ，
由|α-β|≤2$\sqrt{2}$可得（α-β）²≤8，即（α+β）²-4αβ≤8，
代入可得4（cosθ+1）²-4（cosθ）²≤8，解得cosθ≤$\frac{1}{2}$  ②
由①②得-$\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{π}{3}$+2kπ≤θ≤$\frac{2π}{3}$+2kπ或$\frac{4π}{3}$+2kπ≤θ≤$\frac{5π}{3}$+2kπ（k∈Z）．
故角θ的集合為{θ|$\frac{π}{3}$+kπ≤θ≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z}

點評 本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題．