Question

設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足a₃+a₅=26，S₉=153，遞增的等比數(shù)列{b_n}中，滿足b₂•b₅=128．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)?x∈N^*，試比較S_n，b_n的大�。�

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義求出相應(yīng)的首項和公差，公比，即可求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出S_n，b_n的表達(dá)式，利用函數(shù)圖象進(jìn)行比較大�。�

解答： 解：（I）由題意得：在等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₅=26⇒a₁+3d=26…①
S9=

9×(a1+a9)

2

=9a1+36d=153…②；
聯(lián)立①②解出a₁=1，d=4，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3；
在數(shù)列{b_n}中，

b2×b5=128 b1+b6=66

⇒

b1=64 b6=2

或

b1=2 b6=64

．
∵{b_n}是遞增數(shù)列；
∴b₁=2，b₆=64，而b6=b1•q5⇒q=2；
∴bn=2•2n-1=2n(n∈N*)
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為an=4n-3，(n∈N*)；{b_n}通項公式為bn=2n(n∈N*)．
 （II）由（I）得Sn=

n(4n-2)

2

=2n2-n，(n∈N*)，而bn=2n，
圖象如右所示：
顯然①當(dāng)S_n＞b_n時，n=2，3，4，5，6，
∴S_n＞b_n．
②S_n＜b_n時，n=1或n≥7，
∴S_n＜b_n．

點評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式的計算，根據(jù)條件建立方程解方程即可得到結(jié)論．