Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（x+

π

3

）cosx．
（Ⅰ）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知A為銳角，f（A）=

3

2

，b=2，c=3，求cos（A-B）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可求得f（x）=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，利用x∈[0，

π

2

]，可求得2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，從而可求得f（x）的取值范圍；
（Ⅱ）依題意可求得sin（2A+

π

3

）=0，A為銳角，可知A=

π

3

，b=2，c=3，利用余弦定理可求得a=

7

，繼而可求得sinB及cosB的值，利用兩角差的余弦可得cos（A-B）的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=(sinx+

3

cosx)cosx=sinxcosx+

3

cos2x
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

…．（4分）
∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1．
∴f(x)∈[0， 1+

3

2

]．                        …．（7分）
（Ⅱ）由f(A)=sin(2A+

π

3

)+

3

2

=

3

2

，得sin（2A+

π

3

）=0，
又A為銳角，故A=

π

3

，又b=2，c=3，
∴a²=4+9-2×2×3×cos

π

3

=7，解得a=

7

．    …．（10分）
由

a

sinA

=

b

sinB

，得sinB=

3

7

，又b＜a，從而B＜A，cosB=

2

7

．
∴cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=

1

2

•

2

7

+

3

2

•

3

7

=

5 7

14

…（14分）

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．