Question

【題目】橢圓C：的離心率是，過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為．

求橢圓C的方程；

過點的動直線l與橢圓C相交于A，B兩點，在y軸上是否存在異于點P的定點Q，使得直線l變化時，總有？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在定點滿足題意。

【解析】

（1）利用已知條件，求解a，b，即可得到橢圓方程．

（2）當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l方程：y＝kx+1，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A，B坐標(biāo)，假設(shè)存在定點Q（0，t）符合題意，利用韋達定理，把轉(zhuǎn)化為kQA＝﹣kQB，求解即可．

（1）因為過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的弦長為，得，且離心率是，所以得，，所以橢圓C的方程為：；

當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l方程：，

由得，，

設(shè)，

假設(shè)存在定點符合題意，，，

，

上式對任意實數(shù)k恒等于零，，即，．

當(dāng)直線l斜率不存在時，A，B兩點分別為橢圓的上下頂點，，

顯然此時，

綜上，存在定點滿足題意