Question

已知圓C的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且過點(diǎn)M（1 ， 

3

）．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，試求點(diǎn)P到直線x+y-4=0的距離的最小值；
（3）若直線l與圓C相切于點(diǎn)M，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓相交的性質(zhì),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）由題意可得圓C的半徑r=|OM|的值，再根據(jù)原點(diǎn)為圓心，可得圓的方程．
（2）求出圓心到直線x+y-4=0的距離d，則點(diǎn)P到直線x+y-4=0的距離的最小值為d-r，計(jì)算可得結(jié)果．
（3）先求出直線l的斜率為

-1

KOM

的值，再由點(diǎn)斜式求得直線l的方程，化簡可得結(jié)果．

解答： 解：（1）由題意可得圓C的半徑r=|OM|=

12+( 3 )2

=2，再根據(jù)原點(diǎn)為圓心，
可得圓的方程為 x²+y²=4．
（2）已知點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，圓心到直線x+y-4=0的距離d=

|0+0-4|

2

=2

2

，
故點(diǎn)P到直線x+y-4=0的距離的最小值為d-r=2

2

-2．
（3）若直線l與圓C相切于點(diǎn)M（1，

3

），故直線l的斜率為

-1

KOM

=

-1

3 -0 1-0

=-

3

3

，
由點(diǎn)斜式求得直線l的方程為 y-

3

=-

3

3

（x-1），即 x+

3

y-4=0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，用點(diǎn)斜式求直線的方程，屬于基礎(chǔ)題．