Question

已知等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

1

4

，公比q=

1

4

，設(shè)b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_nb_n．
（Ⅰ）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅲ）對(duì)任意n∈N^*，c_n≤m²-m-

1

2

恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意知an=(

1

4

)n，所以bn+2=3log

1

4

an=3n，由此能求出b_n=3n-2．
（Ⅱ）由cn=(3n-2)•(

1

4

)n．利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．
（3）由已知條件求出c_n取最大值

1

4

，所以對(duì)任意n∈N^*，c_n≤m²-m-

1

2

恒成立，等價(jià)國(guó)土m²-m-

1

2

≥

1

4

，由此能求出m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

1

4

，公比q=

1

4

，
∴an=(

1

4

)n，
∴bn+2=3log

1

4

an=3n，
∴b_n=3n-2．
（Ⅱ）∵an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，∴cn=(3n-2)•(

1

4

)n．
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+…+(3n-2)×(

1

4

)n，

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)2+…+(3n-2)×(

1

4

)n+1，
兩式相減，得

3

4

Sn=

1

4

+3×[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-（3n-2）×(

1

4

)n+1
=

1

4

+

3 16 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1
=

1

2

-

1

4n

-(3n-2)×(

1

4

)n+1，
∴Sn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1．
（3）∵C_n+1-C_n=（3n+1）×(

1

4

)n+1-(3n-2)×(

1

4

)n=9（1-n）×(

1

4

)n+1．
當(dāng)n=1時(shí)，c2=c1=

1

4

，
n≥2時(shí)，c_n+1＜c_n，
∴c_n取最大值

1

4

，
∵對(duì)任意n∈N^*，c_n≤m²-m-

1

2

恒成立，
∴m²-m-

1

2

≥

1

4

，解得m≥

1+ 3

2

，或m≤

1+ 3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．