Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax+sinx+cosx．若函數(shù)f（x）的圖象上存在不同的兩點A，B，使得曲線y=f（x）在點A，B處的切線互相垂直，則實數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入導(dǎo)函數(shù)，由函數(shù)在A，B處的導(dǎo)數(shù)等于0列式，換元后得到關(guān)于a的一元二次方程，結(jié)合線性規(guī)劃知識求得a的取值范圍．

解答： 解：由f（x）=ax+sinx+cosx，得
f′（x）=a+cosx-sinx，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則f′（x₁）=a+cosx₁-sinx₁，f′（x₂）=a+cosx₂-sinx₂．
由f′(x1)f′(x2)=-1，得
a²+[（cosx₁-sinx₁）+（cosx₂-sinx₂）]a+（cosx₁-sinx₁）（cosx₂-sinx₂）+1=0．
令m=cosx₁-sinx₁，n=cosx₂-sinx₂，
則m∈[-

2

，

2

]，n∈[-

2

，

2

]．
∴a²+（m+n）a+mn+1=0．
△=（m+n）²-4mn-4=（m-n）²-4，
∴0≤（m-n）²-4≤4，0≤

(m-n)2-4

≤2．
當(dāng)m-n=±2

2

時，m+n=0，
又a=

-(m+n)± (m+n)2-4mn-4

2

=

-(m+n)± (m-n)2-4

2

．
∴-1≤a≤1．
∴函數(shù)f（x）的圖象上存在不同的兩點A，B，使得曲線y=f（x）在點A，B處的切線互相垂直，則實數(shù)a的取值范圍為[-1，1]．
故答案為：[-1，1]．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵在于由關(guān)于a的方程的根求解a的范圍，是有一定難度題目．