Question

1．已知曲線C的方程為x²+y²-3x=0（$\frac{5}{3}$＜x≤3）．
（1）曲線C所在圓的圓心坐標(biāo)；
（2）是否存在實數(shù)k，使得直線L：y=k（x-4）與曲線C只有一個交點？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）曲線C的方程為x²+y²-3x=0，整理得其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出曲線C所在圓的圓心坐標(biāo)；
（2）通過聯(lián)立直線L與圓C₁的方程，利用根的判別式△=0及軌跡C的端點與點（4，0）決定的直線斜率，即得結(jié)論．

解答 解：（1）∵曲線C的方程為x²+y²-3x=0，整理得其標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x-$\frac{3}{2}$）²+y²=$\frac{9}{4}$，
∴圓C的圓心坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，0）．
（2）結(jié)論：當(dāng)k∈[-$\frac{2\sqrt{5}}{7}$，$\frac{2\sqrt{5}}{7}$]∪{-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$}時，直線L：y=k（x-4）與曲線C只有一個交點．
理由如下：
直線代入圓的方程，消去y，可得：（1+k²）x²-（3+8k²）x+16k²=0，
令△=（3+8k²）²-4（1+k²）•16k²=0，解得k=±$\frac{3}{4}$，
又∵軌跡C的端點（$\frac{5}{3}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）與點（4，0）決定的直線斜率為±$\frac{2\sqrt{5}}{7}$，
∴當(dāng)直線L：y=k（x-4）與曲線C只有一個交點時，
k的取值范圍為[-$\frac{2\sqrt{5}}{7}$，$\frac{2\sqrt{5}}{7}$]∪{-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$}．

點評 本題考查圓的方程、直線與曲線的位置關(guān)系問題，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．