Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a（0＜a≤1），an+1=

1- 1 an ，an＞1 an+ 1 2 ，an≤1

則使對(duì)于任意的n∈N^*，a_n+3=a_n成立的a有（　�。�

• A、0個(gè)
• B、1個(gè)
• C、2個(gè)
• D、3個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題設(shè)條件，先求出a₂，再由0＜a≤

1

2

和

1

2

＜a≤1兩種情況分別求出a₃，再由a₃的取值情況，求出a₄，由此能求出a_n+3=a_n成立的a的值．

解答： 解：∵a₁=a（0＜a≤1），an+1=

1- 1 an ，an＞1 an+ 1 2 ，an≤1

，
∴a2=a+

1

2

，
①當(dāng)0＜a≤

1

2

時(shí)，0＜a+

1

2

≤1，
∴a3=a+

1

2

+

1

2

=a+1＞0，
∴a₄=1-a-1=-a，
由a₄=a₁，得-a=a，不成立；
②當(dāng)

1

2

＜a≤1時(shí)，a+

1

2

＞1，
∴a₃=1-a-

1

2

=

1

2

-a≤1，
∴a4=

1

2

-a+

1

2

=1-a，
由a₄=a₁，得1-a=a，解得a=

1

2

．
∴使對(duì)于任意的n∈N^*，a_n+3=a_n成立的a有1個(gè)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，解題時(shí)要注意分類討論思想和遞推思想的合理運(yùn)用，是中檔題．