Question

已知直線l：y=k（x+2

2

）與圓O：x²+y²=4相交于不重合的A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且三點(diǎn)A、B、O構(gòu)成三角形．
（1）求k的取值范圍；
（2）三角形ABO的面積為S，試將S表示成k的函數(shù)，并求出它的定義域；
（3）求S的最大值，并求取得最大值時(shí)k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）三點(diǎn)A、B、O構(gòu)成三角形，則0＜

2 2 |k|

k2+1

＜2，從而可求k的取值范圍；
（2）求出|AB|，表示出三角形的面積，即可得到S表示成k的函數(shù)；
（3）換元，利用配方法，即可求S的最大值．

解答： 解：（1）由題意，d_OM=

2 2 |k|

k2+1

，
∵三點(diǎn)A、B、O構(gòu)成三角形，
∴0＜

2 2 |k|

k2+1

＜2，
∴-1＜k＜1且k≠0；
（2）直線l：y=k（x+2

2

），即kx-y+2

2

k=0，
∴d_OM=

2 2 |k|

k2+1

，
∴|AB|=2

4-( 2 2 |k| k2+1 )2

=4

1-k2 1+k2

，
∴S=

1

2

|AB|d_OM=

1

2

•=4

1-k2 1+k2

•

2 2 |k|

k2+1

=

4 2 • k2(1-k2)

1+k2

（-1＜k＜1且k≠0）；
（3）設(shè)k²+1=t（t≥1），則S=4

2

•

-t2+3t-2

t

=4

2

•

-2( 1 t - 3 4 )2+ 1 8

，
∴

1

t

=

3

4

，即t=

4

3

時(shí)，k=±

3

3

，S_max=4

2

•

1

2 2

=2，
∴S的最大值為2，取得最大值時(shí)k=±

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查換元法、配方法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．