Question

8．任取x₁，x₂∈[a，b]，且x₁≠x₂，若f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，稱f（x）是[a，b]上的嚴格下凸函數(shù)，則下列函數(shù)中是嚴格下凸函數(shù)的有（　�。�
①f（x）=3x+1 ②f（x）=$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞） ③f（x）=-x²+3x+2
④f（x）=lgx ⑤f（x）=2^x．

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 先求出f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）的解析式以及$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式判斷f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）和$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]的大小關(guān)系，再根據(jù)“嚴格下凸函數(shù)”的定義域，得出結(jié)論．

解答 解：在①中：對于函數(shù)y=f（x）=3x+1，
當(dāng)x₁≠x₂時，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{3}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+1，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（3{x}_{1}+1+3{x}_{2}+1）$=$\frac{3}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+1$，
f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故f（x）=3x+1不是嚴格下凸函數(shù)．
在②中：對于函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$，x∈（0，+∞），
當(dāng)x₁≠x₂＞0時，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}）$，
∵$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-\frac{1}{2}（\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}）$=$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}}-\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{2{x}_{1}{x}_{2}-{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{2{x}_{1}{x}_{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）}$＜0，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，∴f（x）=$\frac{1}{x}$是[a，b]上的嚴格下凸函數(shù)；
在③中：對于函數(shù)f（x）=-x²+3x+2，
當(dāng)x₁≠x₂時，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=$-（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}）^{2}$+3•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+2，
$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}$[-x₁²+3x₁+2-x₂²+3x₂+2]=-$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{2}$+3•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$+2，
當(dāng)x₁x₂≤0時，f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≥$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故f（x）=-x²+3x+2不是[a，b]上的嚴格下凸函數(shù)；
在④中：對于函數(shù)f（x）=lgx，
當(dāng)x₁≠x₂ ＞0時，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=lg（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（lg{x}_{1}+lg{x}_{2}）$=lg$\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}$，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＞$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，故f（x）=lgx不是[a，b]上的嚴格下凸函數(shù)；
在⑤中：對于函數(shù)f（x）=2^x，
當(dāng)x₁≠x₂ 時，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）=${2}^{\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}}$=$\sqrt{{2}^{{x}_{1}}•{2}^{{x}_{2}}}$，$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]=$\frac{1}{2}（{2}^{{x}_{1}}+{2}^{{x}_{2}}）$，
∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{1}{2}$[f（x₁）+f（x₂）]，∴f（x）=2^x是[a，b]上的嚴格下凸函數(shù)．
故選：B．

點評 本題考查嚴格下凸函數(shù)的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，熟練掌握新定義，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用．