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【題目】已知集合,且中的元素個數大于等于5.若集合中存在四個不同的元素,使得,則稱集合關聯(lián)的,并稱集合是集合關聯(lián)子集;若集合不存在關聯(lián)子集,則稱集合獨立的”.

分別判斷集合和集合關聯(lián)的還是獨立的?若是關聯(lián)的,寫出其所有的關聯(lián)子集;

已知集合關聯(lián)的,且任取集合,總存在的關聯(lián)子集,使得.,求證:是等差數列;

集合獨立的,求證:存在,使得.

【答案】是關聯(lián)的,關聯(lián)子集有;是獨立的;

證明見解析;

證明見解析

【解析】

1)根據題中所給的新定義,即可求解;

2)根據題意,,,, ,進而利用反證法求解;

3)不妨設集合,,且.

,進而利用反證法求解;

:關聯(lián)的關聯(lián)子集有;

獨立的

記集合的含有四個元素的集合分別為:

,,,

.

所以,至多有關聯(lián)子集”.

關聯(lián)子集,則不是關聯(lián)子集,否則

同理可得若關聯(lián)子集,則不是關聯(lián)子集”.

所以集合沒有同時含有元素關聯(lián)子集,與已知矛盾.

所以一定不是關聯(lián)子集

同理一定不是關聯(lián)子集”.

所以集合關聯(lián)子集至多為.

不是關聯(lián)子集,則此時集合一定不含有元素關聯(lián)子集,與已知矛盾;

不是關聯(lián)子集,則此時集合一定不含有元素關聯(lián)子集,與已知矛盾;

不是關聯(lián)子集,則此時集合一定不含有元素關聯(lián)子集,與已知矛盾;

所以都是關聯(lián)子集

所以有,即

,即.

,即,

所以.

所以是等差數列.

不妨設集合,,且.

.

因為集合獨立的的,所以容易知道中恰好有個元素.

假設結論錯誤,即不存在,使得

所以任取,,因為,所以

所以

所以任取,

任取,

所以,且中含有個元素.

(i),則必有成立.

因為,所以一定有成立.所以.

所以

,

所以,所以,有矛盾,

(ii),

中含有個元素,所以

所以,

因為,所以.

因為,所以

所以

所以,矛盾.

所以命題成立.

練習冊系列答案
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非健身達人

總計

10

30

總計

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