Question

自單位圓外任意一點(diǎn)P引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為點(diǎn)A、B，那么

AP

•

BP

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值,平面向量及應(yīng)用

分析：求解本題，首先要知道從圓外一點(diǎn)所引兩條切線的特點(diǎn)是什么，特點(diǎn)就是，圓心和切點(diǎn)連線垂直于切線，并且這兩條切線長(zhǎng)度相等．把數(shù)量積表示出來(lái)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)有3個(gè)未知量，分別是PA的長(zhǎng)度，PB得長(zhǎng)度及角APB，含三個(gè)變量求最小值應(yīng)該有難度，所以看能不能把它變成一個(gè)變量，這是可以的，三角形PAO中AO長(zhǎng)度已知，所以PA的長(zhǎng)度用∠APO表示即可，同樣的PA也可用這個(gè)角表示，這樣就完成了將三個(gè)變量變成一個(gè)變量，下面就看整理成什么式子，求函數(shù)的最值即可．

解答： 解：如下圖，設(shè)∠APO=θ，則PA=PB=

1

tanθ

，

AP

•

BP

=|

AP

|•|

BP

|cos2θ=

1

tanθ

•

1

tanθ

•cos2θ=

cos2θ

sin2θ

•cos2θ=

1+cos2θ

1-cos2θ

•cos2θ，所以令：x=1-cos2θ，x∈[0，2]
則，

PA

•

PB

=

(2-x)(1-x)

x

=x+

2

x

-3≥2

2

-3，并且x=

2

時(shí)等式成立．所以

AP

•

BP

的最小值是2

2

-3，故答案為2

2

-3．
[

點(diǎn)評(píng)：本題需要知道的知識(shí)點(diǎn)就是圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，具有什么樣的性質(zhì)．二倍角公式，數(shù)量積的運(yùn)算，也是本題涉及的知識(shí)點(diǎn)．還一個(gè)就是把三個(gè)變量變成一個(gè)的方法．