Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=pn²-2n+q（p，q∈R），n∈N^*．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a₁與a₅的等差中項(xiàng)為18，b_n滿足a_n=2log₂b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，建立方程關(guān)系即可求q的值；
（Ⅱ）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等比數(shù)列的求和公式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=p-2+q，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=pn²-2n+q-p（n-1）²+2（n-1）-q=2pn-p-2，
∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴p-2+q=2p-p-2，∴q=0．
（Ⅱ）依題意a3=

a1+a5

2

，
∴a₃=18．
又a₃=6p-p-2，
∴6p-p-2=18，
∴p=4，∴a_n=8n-6，
又a_n=2log₂b_n，得bn=24n-3，
∴b₁=2，

bn+1

bn

=

24(n+1)-3

24n-3

=2⁴=16，
即{b_n}是等比數(shù)列．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=

2(1-16n)

1-16

=

2

15

(16n-1)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算，要求熟練掌握相應(yīng)的公式．