Question

拋物線(xiàn)y=-

1

8

x²的準(zhǔn)線(xiàn)與y軸交于A點(diǎn)，過(guò)A作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)B在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，（

BM

+

MN

2

）•

MN

=0．
（1）求|

OB

|的取值范圍；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)B，使得△BMN為等腰直角三角形且∠B=90°，若存在求出點(diǎn)B，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點(diǎn)P（x₀，y₀），聯(lián)立方程可得x²+8kx+16=0，由△＞0可求k的范圍，由方程的根與系數(shù)關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求MN的中點(diǎn)P，由（

BM

+

MN

2

）•

MN

=0，可得BP⊥MN即M在MN的垂直平分線(xiàn)，則MN的垂直平分線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)即是B，令x=0可求B的縱坐標(biāo)，結(jié)合k的范圍可求|

OB

|的范圍；
（2）若存在點(diǎn)B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°，則有（1）可知|BP|=

|MN|

2

，由兩點(diǎn)間的距離公式及弦長(zhǎng)公式分別求出等式兩邊的長(zhǎng)度（用含有k的代數(shù)式表示），兩邊平方后即可求解k的值，則答案可求．

解答： 解：（1）由題意可得A（0，2），直線(xiàn)MN的斜率k存在且k≠0
設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=kx+2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN的中點(diǎn)P（x₀，y₀），
聯(lián)立方程可得x²+8kx+16=0
則可得，△=64k²-64＞0，即k²＞1，x₁+x₂=-8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）+4=4-8k²
∴E（-4k，2-4k²）
∵（

BM

+

MN

2

）•

MN

=0，
∴BP⊥MN即M在MN的垂直平分線(xiàn)
∴MN的垂直平分線(xiàn)y+4k²-2=-

1

k

(x+4k)與y軸的交點(diǎn)即是B，
令x=0，可得y=-2-4k²，則|

OB

|=2+4k²＞6；
（2）存在點(diǎn)B（0，10）為所求．
事實(shí)上，若存在點(diǎn)B，使得△BMN為等腰直角三角形，且∠B=90°．
∵由（1）知PB垂直平分線(xiàn)段MN，
∴|BP|=

|MN|

2

，
由B（0，2+4k²），P（4k，4k²-2），
∴|BP|=

(4k)2+(4k2-2-2-4k2)2

=4

k2+1

．

|MN|

2

=

1

2

1+k2

•

64k2-64

=4

k4-1

．
∴4

k2+1

=4

k4-1

．
解得，k²=2，
∴點(diǎn)B（0，10）為所求．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算及利用數(shù)量積判斷兩向量的垂直關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是能有題意得到相應(yīng)的等式，訓(xùn)練了弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是有一定難度題目．