Question

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R，a＞0），滿足|z|=

10

，且復(fù)數(shù)（1-2i）z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二、四象限的角平分線上．
（Ⅰ）求復(fù)數(shù)z；
（Ⅱ）若

.

z

+

m+i

1-i

（m∈R）為純虛數(shù)，求實數(shù)m的值．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)的基本概念

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（I）由于|z|=

10

，可得a²+b²=10．又復(fù)數(shù)（1-2i）z=（a+2b）+（b-2a）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二、四象限的角平分線上．可得a+2b+（b-2a）=0，聯(lián)立即可解得．
（II）利用復(fù)數(shù)的運算法則和純虛數(shù)的定義即可得出．

解答： 解：（I）∵|z|=

10

，∴

a2+b2

=

10

，即a²+b²=10．①
又復(fù)數(shù)（1-2i）z=（1-2i）（a+bi）=（a+2b）+（b-2a）i在復(fù)平面上對應(yīng)的點在第二、四象限的角平分線上．
∴a+2b+（b-2a）=0，即a=3b．②
聯(lián)立①②解得

a=3 b=1

或

a=-3 b=-1

．
由于a＞0，∴z=3+i．
（II）

.

z

+

m+i

1-i

=3-i+

(m+i)(1+i)

(1+i)(1-i)

=3-i+

m-1+(m+1)i

2

=

m+5

2

+

m-1

2

i為純虛數(shù)，
∴

m-1

2

≠0，

m+5

2

=0，解得m=-5．

點評：本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、模的計算公式、復(fù)數(shù)的幾何意義、純虛數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．