Question

已知a，b為常數(shù)，a≠0，函數(shù)f（x）=ax²+bx（x∈R），f（2）=0，且方程f（x）=x有等根．
（1）求f（x）的解析式及值域；
（2）設(shè)集合A={x|f（x）+k＞0}，B={x|-2≤x≤3}，若A⊆B，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)m，n，使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)的解析式、f（2）=0，且方程f（x）=x有等根，求得a、b的值，可得f（x）的解析式．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
（2）由題意可得A⊆B，分①當(dāng)A=∅時、②當(dāng)A≠∅時兩種情況，分別利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得k的范圍，再取并集，即得所求．
（3）由條件可得

m＜n≤ 1 4 f(m)=2m f(n)=2n

，求得m、n的值，可得結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+bx，且f（2）=0，∴4a+2b=0．
又方程f（x）=x，即ax²+bx=x，即ax²+（b-1）x=0有等根，
∴△=（b-1）²-4×a×0=0，即b=1，從而a=-

1

2

，∴f(x)=-

1

2

x2+x．
又f(x)=-

1

2

x2+x=-

1

2

(x-1)2+

1

2

≤

1

2

，故函數(shù)的值域為{y|y≤

1

2

}．
（2）A={x|-

1

2

x2+x+k＞0}，∵A⊆B，
①當(dāng)A=∅時，A⊆B，此時△′=1-4(-

1

2

)k≤0，解得k≤-

1

2

．
②當(dāng)A≠∅時，設(shè)g(x)=-

1

2

x2+x+k，對稱軸x=1，要A⊆B，只需

△′＞0 g(-2)≤0 g(3)≤0

，
解得

k＞- 1 2 k≤4 k≤ 3 2

，∴-

1

2

＜k≤

3

2

．
綜合①②，得k≤

3

2

．
（3）∵f(x)≤

1

2

，則有2n≤

1

2

，n≤

1

4

，
又對稱軸x=1，∴f（x）在[m，n]是增函數(shù)，∴

m＜n≤ 1 4 f(m)=2m f(n)=2n

，
解得m=-2，n=0，
∴存在m=-2，n=0使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[2m，2n]．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、集合間的包含關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．