Question

已知函數(shù)f(x)=sin(2x+

π

6

)+

3

2

，x∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在x∈[-

π

6

，

π

3

]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用正弦函數(shù)的周期公式與單調(diào)性質(zhì)即可求得f（x）=sin（2x+

π

6

）+

3

2

的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x∈[-

π

3

，

2π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]⇒sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，從而可求得f（x）的最值．

解答： 解：（1）f（x）的最小周期T=

2π

2

=π，
由題意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．
（2）∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，
∴2x∈[-

π

3

，

2π

3

]，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[-1，

5

2

]，
∴f（x）_max=

5

2

，f（x）_min=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，屬于中檔題．