Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0），A₁、A₂、B₁、B₂分別為橢圓長軸和短軸的兩端點，以F₂為圓心過點A₂的圓與直線A₂B₂相交，弦長為

14

7

a．已知c=2，點P在橢圓上且在x軸上方，若△PF₁F₂為等腰三角形，求△PF₁F₂的面積及對應(yīng)的P點的坐標．

Answer 1

考點：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：利用以F₂為圓心過點A₂的圓與直線A₂B₂相交，弦長為

14

7

a，根據(jù)弦長公式，結(jié)合c=2，求出橢圓的方程，利用△PF₁F₂為等腰三角形，分類討論，即可求△PF₁F₂的面積及對應(yīng)的P點的坐標．

解答： 解：直線A₂B₂的方程為bx-ay-ab=0，⊙F₂的方程為（x-2）²+y²=（a-2）²，
F₂到直線A₂B₂的距離d=

|2b-ab|

a2+b2

，
∵弦長為

14

7

a，
∴

14

7

a=2

(a-2)2- (2b-ab)2 a2+b2

，
∴b²=13a²-56a+56①
∵b²=a²-4，②
①②可得3a²-14a+15=0，
∵a＞c，
∴a=3，
∴b=

5

，
∴橢圓方程為

x2

9

+

y2

5

=1③；
當F₁F₂=PF₁時，（x+2）²+y²=16④，
聯(lián)立③④得P₁（

1

2

，

15

2

）；
當F₁F₂=PF₂時P₂（-

1

2

，

15

2

）；
當F₁P=PF₂時P₃（0，

5

），
S₁=S₂=

1

2

|F₁F₂||y_P|=

1

2

×4×

15

2

=

15

；
S₃=

1

2

|F₁F₂|b=

1

2

×4×

5

=2

5

．

點評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查橢圓的標準方程，考查三角形面積的計算，考查分類討論的數(shù)學思想，確定橢圓的方程是關(guān)鍵．