Question

已知圓C：x²+y²+2x-4y+3=0．
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上截距相等，求切線的方程；
（2）若M（m，n）為圓C上任意一點(diǎn)，求

n+2

m-1

的最大值與最小值；
（3）從圓C外一點(diǎn)P（x，y）向圓引切線PM，M為切點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|=|PO|，求當(dāng)|PM|最小時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時(shí)，切線過(guò)原點(diǎn)或切線的斜率為-1；當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為：y=kx，當(dāng)切線的斜率為-1時(shí)，設(shè)切線方程為：x+y+b=0，由相切可得方程，解出即可；
（2）設(shè)k=

n+2

m-1

，則k表示直線MA的斜率，其中A（1，-2）是定點(diǎn)，可知直線MA與圓有公共點(diǎn)，從而可得

|-2k-2-2|

1+k2

≤

2

，解出即可；
（3）由兩點(diǎn)間距離公式及切線長(zhǎng)公式，可把|PM|=|PO|化為（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，化簡(jiǎn)可得x=2y-

3

2

，從而PM|=|PO|=

x2+y2

，可化為關(guān)于y的函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)可求；

解答： 解：圓C的方程為：（x+1）²+（y-2）²=2，
（1）圓C的切線在x軸和y軸上截距相等時(shí)，切線過(guò)原點(diǎn)或切線的斜率為-1；
當(dāng)切線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)切線方程為：y=kx，相切則：

|-k-2|

1+k2

=

2

，得k=2±

6

；
當(dāng)切線的斜率為-1時(shí)，設(shè)切線方程為：y+x+b=0，由相切得：

|-1+2+b|

2

=

2

，得b=1或b=-3；
故所求切線方程為：y=(2+

6

)x或y=(2-

6

)x；或x+y+1=0，或x+y-3=0．
（2）設(shè)k=

n+2

m-1

，則k表示直線MA的斜率，其中A（1，-2）是定點(diǎn)，
∵M(jìn)（m，n）在圓C，∴圓C與直線MA有公共點(diǎn)，
而直線MA的方程為：y+2=k（x-1），
則有：C點(diǎn)到直線MA的距離不大于圓C的半徑即：

|-2k-2-2|

1+k2

≤

2

，解得：-7≤k≤-1，
∴

n+2

m-1

的最大值為-1，最小值為-7．
（3）由圓的切線長(zhǎng)公式可得|PM|²=|PC|²-R²=（x+1）²+（y-2）²-2，
由|PM|=|PO|得，（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，即2x-4y+3=0，即x=2y-

3

2

，
此時(shí)|PM|=|PO|=

x2+y2

=

(2y- 3 2 )2+y2

=

5y2-6y+ 9 4

=

5(y- 3 5 )2+ 9 20

，
∴當(dāng)y=

3

5

即P（-

3

10

，

3

5

）時(shí)，|PM|最小．

點(diǎn)評(píng)：該題考查圓的方程、性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查與圓有關(guān)的最值問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想．