Question

已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，PA=AB=2

2

，點N在線段PD上，且PN=kPD（0＜k＜1），平面BCN與PA相交于點M，
（Ⅰ）求證：AD∥MN；
（Ⅱ）試確定點N的位置． 使直線BN與平面PAD所成角的正切值為

6

3

．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AD∥MN，只需證明AD∥平面BCN；
（Ⅱ）延長DA，過B作BQ⊥AD于Q，連接QN得∠BNQ即直線BN與平面PAD所成的角，求出BQ，QN，即可確定點N的位置．

解答： （Ⅰ）證明：∵AD∥BC，BC?平面BCN，AD?平面BCN，
∴AD∥平面BCN，…（3分）
又AD?平面PAD，平面PAD∩平面BCN=MN，
∴AD∥MN…（5分）
（Ⅱ）解：延長DA，過B作BQ⊥AD于Q，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BQ，從而BQ⊥平面PAD，
連接QN得∠BNQ即直線BN與平面PAD所成的角，…（7分）
∵PD=4，底面ABCD為菱形且∠BAD=120°，∴AQ=

1

2

AB=

1

2

AD=

2

，BQ=

6

，
∴QD=3

2

，PN=kPD=4k，
∴ND=4-4k，
∴△QDN中，QN=

QD2+ND2-2QD•NDcos45°

=

(3 2 )2+(4-4k)2-2×3 2 ×(4-4k)× 2 2

=

16k2-8k+10

，（11分）
∴tan∠BNQ=

BQ

QN

=

6

QN

=

6

3

，
∴QN=3，從而k=

1

4

，
答：點N位于的線段PD的四分之一處（靠近P點）…（14分）

點評：本題考查線面平行的判定與性質(zhì)，考查線面角，正確運用線面平行的判定定理是關(guān)鍵．