Question

如圖，在二面角α-AB-β的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2

17

，則直線CD與平面α所成角的正弦值為（　�。�

• A、

  697

  34

• B、

  3 51

  64

• C、

  697

  64

• D、

  3 51

  34

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：由題設(shè)條件推導(dǎo)出二面角α-AB-β是60°的二面角，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥α，交α于F，連結(jié)AF，DF，由三垂線定理知∠CAF=60°，CF=6sin60°=3

3

，∠CDF是直線CD與平面α所成角的平面角，由此能求出結(jié)果．

解答： 解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE∥AB，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，交CE于點(diǎn)E，
∵在二面角α-AB-β的棱上有A、B兩點(diǎn)，
直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，
AB=4，AC=6，BD=8，CD=2

17

，
∴ABEC是矩形，∴CE=AB=4，BE=AC=6，
∴CE⊥BE，CE⊥BD，∵BD∩BE=B，∴CE⊥平面BDE，
∵DE?平面BDE，∴CE⊥DE，
∴DE=

CD2-CE2

=

68-16

=2

13

，
∴∠DBE=

82+62-(2 13 )2

2×8×6

=

1

2

，
∴∠DBE=60°，∴二面角α-AB-β是60°的二面角，
過(guò)點(diǎn)C作CF⊥α，交α于F，連結(jié)AF，DF，
由三垂線定理知∠CAF是二面角α-AB-β的平面角，∴∠CAF=60°，
∴CF=6sin60°=3

3

，
∵CF⊥α，∴∠CDF是直線CD與平面α所成角的平面角，
∴sin∠CDF=

CF

CD

=

3 3

2 17

=

3 51

34

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．