已知平面直角坐標(biāo)系中
OA
=（2
2
，0），滿足
OB
+
OA
=
0
，平面內(nèi)有一動點(diǎn)E使得|
BE
-
BA
|+|
AE
-
AB
|=6．
（1）求動點(diǎn)E的軌跡方程C；
（2）過曲線C上的動點(diǎn)P向圓x2+y2=1引切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)且直線AB交x軸，y軸于M，N，求△MON面積的最小值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：向量與圓錐曲線
分析：（1）由已知向量的坐標(biāo)和向量等式求出
OB
的坐標(biāo)，再由|
BE
-
BA
|+|
AE
-
AB
|=6得到|
AE
|+|
BE
|=6．由此可知?jiǎng)狱c(diǎn)E的軌跡為橢圓，結(jié)合橢圓定義求得橢圓方程；
（2）設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，得到以|OP|為直徑的圓的方程，與已知圓的方程聯(lián)立得到過切點(diǎn)A，B的直線方程，求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，由兩點(diǎn)間的距離公式求得MN的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求得O到MN的距離，代入三角形的面積公式，然后把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程利用基本不等式求面積的最小值．
解答： 解：（1）∵
OA
=（2
2
，0），且
OB
+
OA
=
0
，
∴
OB
=-
OA
=(-2
2
，0)，
又|
BE
-
BA
|+|
AE
-
AB
|=6，即|
AE
|+|
BE
|=6．
∴動點(diǎn)E的軌跡為以B，A為焦點(diǎn)，6為長軸的橢圓，
由2a=6，a=3，c=2
2
，
∴b2=a2-c2=9-8=1．
∴動點(diǎn)E的軌跡方程C：
x2
9
+y2=1；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則以|OP|為直徑的圓的方程為x2-x0x+y2-y0y=0．
與圓的方程x2+y2=1相減得：x0x+y0y=1，此方程即是過切點(diǎn)A，B的直線方程（x0y0≠0）．
令x=0，得y=
1
y0
，∴N（0，
1
y0
）；
令y=0，得x=
1
x0
，∴M（
1
x0
，0）．
∴|MN|=
(
1
x0
)2+(
1
y0
)2
=
x02+y02
|x0y0|
，
點(diǎn)O到直線MN的距離d=
1
x02+y02
，
∴S△OMN=
1
2
d|MN|=
1
2
•
1
|x0y0|
，
∵點(diǎn)P在橢圓C：
x2
9
+y2=1上，
∴1=
x02
9
+y02≥2
x02y02
9
=
2|x0y0|
3
，
當(dāng)|x0|=|3y0|時(shí)取等號．
∴2|x0y0|≤3，
∴S△OMN≥
1
2
×
2
3
=
1
3
．
故△MON面積的最小值是
1
3
．
點(diǎn)評：本題是直線與圓錐曲線的綜合題，考查了橢圓方程的求法，訓(xùn)練了由圓系方程求過圓的兩切點(diǎn)的直線方程的方法，考查了利用基本不等式求函數(shù)最值，屬難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在二面角α-AB-β的棱上有A、B兩點(diǎn)，直線AC、BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8，CD=2
17
，則直線CD與平面α所成角的正弦值為（　�。�
A、
697
34
B、
3
51
64
C、
697
64
D、
3
51
34

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓Γ的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為
3
2
，且過拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)F．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為F′，過F′作兩條直線l1和l2，其斜率分別為k、k′，滿足k＞0，k+k′=0，它們分別是橢圓Γ的上半部分相交于G，H兩點(diǎn)，與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，使得|GH|=
16
5
，求證：△ABF′的外接圓過點(diǎn)F；
（3）設(shè)拋物線C的準(zhǔn)線為l，P，Q是拋物線上的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足∠PFQ=
π
2
，線段PQ的中點(diǎn)為M，點(diǎn)M在l上的投影為N，求
|MN|
|PQ|
的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0），直線AM與BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為-2，
（1）求動點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（2）若過點(diǎn)N（
1
2
，1）的直線l交動點(diǎn)M的軌跡于C、D兩點(diǎn)，且點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合M={a，b}，N={c，d}，定義M與N的一個(gè)運(yùn)算“•”為：M•N={x|x=mn，m∈M，n∈N}．
（1）對于交集，有性質(zhì)A∩B=B∩A；類比以上結(jié)論是否有M•N=N•M？并證明你的結(jié)論．
（2）舉例驗(yàn)證（A•B）•C=A•（B•C）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)兩圓C1：（x-
2
）2+y2=1和C2：x2+y2+2
2
x=0的圓心分別為C1、C2，G1、G2分別是圓C1、C2上的點(diǎn)，M是動點(diǎn)，且|MC1|+|MC2|=4
（1）求動點(diǎn)M的軌跡L的方程；
（2）設(shè)軌跡H與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（0，-b），是否存在直線l：y=x+m，使點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)落在軌跡L上，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

一個(gè)三角形數(shù)表按如下方式構(gòu)成（如圖：其中項(xiàng)數(shù)n≥5）：第一行是以4為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，從第二行起，每一個(gè)數(shù)是其肩上兩個(gè)數(shù)的和，例如：f（2，1）=f（1，1）+f（1，2）；f（i，j）為數(shù)表中第i行的第j個(gè)數(shù)．
（1）求第2行和第3行的通項(xiàng)公式f（2，j）和f（3，j）；
（2）證明：數(shù)表中除最后2行外每一行的數(shù)都依次成等差數(shù)列，并求f（i，1）關(guān)于i（i=1，2，…，n）的表達(dá)式；
（3）若f（i，1）=（i+1）（ai-1），bi=
1
aiai+1
，試求一個(gè)等比數(shù)列g(shù)（i）（i=1，2，…，n），使得Sn=b1g（1）+b22g（2）+…+bng（n）＜
1
3
，且對于任意的m∈（
1
4
，
1
3
）均存在實(shí)數(shù)λ，當(dāng)n＞λ時(shí)，都有Sn＞m．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左右焦點(diǎn)A1，A2，B1，B2分別為四個(gè)頂點(diǎn)，已知菱形A1B1A2B2和菱形B1F1B2F2的面?zhèn)�積分別為4
3
和2
3
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過橢圓C的右頂點(diǎn)A2作兩條互相垂直的直線分別和橢圓交于另一點(diǎn)P，Q，試判斷直線PQ是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-
3
，0），F(xiàn)2（
3
，0），短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為B1，B2；且△F1B1B2為等腰直角三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于點(diǎn)M，N，且OM⊥ON，試證明直線l與圓x2+y2=2相切．

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同步練習(xí)冊答案