Question

若直線kx-y-2=0與曲線

1-(y-1)2

=|x|-1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：將曲線

1-(y-1)2

=|x|-1化簡(jiǎn)，可得它表示圓心分別為C₁（1，1）、C₂（-1，1），半徑等于1的兩個(gè)半圓；而kx-y-2=0表示經(jīng)過定點(diǎn)A（0，-2）、斜率為k的直線．因此當(dāng)直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，直線與左邊的半圓有兩個(gè)交點(diǎn)，或與右邊的半圓有兩個(gè)交點(diǎn)．由此對(duì)圖形加以觀察，利用點(diǎn)到直線的距離公式和直線的斜率公式建立關(guān)于k的不等式組，解之即可得到實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：①當(dāng)x≥0時(shí)，曲線

1-(y-1)2

=|x|-1即

1-(y-1)2

=x-1，
兩邊平方，整理得（x-1）²+（y-1）²=1，（x≥1）
表示以C₁（1，1）為圓心，半徑r₁=1的圓的右半圓；
②當(dāng)x＜0時(shí)，曲線

1-(y-1)2

=|x|-1即

1-(y-1)2

=-x-1，
兩邊平方，整理得（x+1）²+（y-1）²=1，（x≤-1）
表示以C₂（-1，1）為圓心，半徑r₂=1的圓的左半圓．
直線kx-y-2=0即y=kx-2，表示經(jīng)過定點(diǎn)A（0，-2）、斜率為k的直線．
因此，直線kx-y-2=0與曲線

1-(y-1)2

=|x|-1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
就是直線kx-y-2=0與兩個(gè)半圓組成的圖形有兩個(gè)交點(diǎn)，
①當(dāng)直線kx-y-2=0與右半圓C₁有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，記點(diǎn)B（1，0），
可得直線到圓心的距離小于半徑，且直線的斜率小于或等于AB的斜率，
∴

|k-2|

k2+1

＜1且k≤kAB=

-2-0

0-1

=2，解之得

4

3

＜k≤2；
②當(dāng)直線kx-y-2=0與左半圓C₂有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，類似于①的方程解得-2≤k＜-

4

3

．
綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是

4

3

＜k≤2或-2≤k＜-

4

3

，即k∈[-2，-

4

3

）∪（

4

3

，2]．
故答案為：[-2，-

4

3

）∪（

4

3

，2]

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，求參數(shù)k的取值范圍．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、直線的斜率公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．