Question

已知直線l：y=2x+b與函數(shù)y=

1

x

的圖象交于A，B兩點，記△OAB的面積為S（O為坐標原點），則函數(shù)S=f（b）是（　�。�

• A、奇函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增
• B、偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞增
• C、奇函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞減
• D、偶函數(shù)且在（0，+∞）上單調(diào)遞減

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件求出AB的長度以及O到AB的距離，從而求出三角形OAB的面積函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的表達式即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由2x+b=

1

x

，即2x²+bx-1=0，
則

△=b2+8＞0 x1+x2=- b 2 x1x2=- 1 2

，
則|AB|=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5( b2 4 +2)

，
圓心到直線2x-y+b=0的距離d=

|b|

5

，
∴△OAB的面積S=

1

2

|AB|•d=

1

2

×

|b|

5

×

5( b2 4 +2)

=

|b|

2

b2 4 +2

，
∴S=f（b）=

|b|

2

b2 4 +2

，
則函數(shù)f（b）為偶函數(shù)，
當b＞0時，y=

|b|

2

和y=

b2 4 +2

都為增函數(shù)，
∴當b＞0時，f（b）=

|b|

2

b2 4 +2

為增函數(shù)．
故選：B．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，利用直線和雙曲線的位置關(guān)系求出三角形的面積是解決本題的關(guān)鍵．