Question

如圖，邊長為a的等邊三角形ABC的中線AF與中位線DE交于點(diǎn)G，已知△A′DE（A′∉平面ABC）是△ADE繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，有下列命題：
①平面A′FG⊥平面ABC；
②BC∥平面A′DE；
③三棱錐A′-DEF的體積最大值為

1

64

a³；
④動點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；
⑤二面角A′-DE-F大小的范圍是[0，

π

2

]．
其中正確的命題是

 

（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：①由已知可得四邊形ADEF是菱形，再利用菱形對角線的性質(zhì)、線面面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可得出；
②由三角形中位線定理和線面平行的判定定理即可得出；
③當(dāng)面A′DE⊥面ABC時，三棱錐A′-DEF的體積達(dá)到最大，再利用體積計算公式即可得出；
④由平面A′FG⊥平面ABC，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得點(diǎn)A′在面ABC上的射影在線段AF上；
⑤在旋轉(zhuǎn)過程中二面角A′-DE-F大小的范圍是[0，π]，即可判斷出．

解答： 解：①由已知可得四邊形ADEF是菱形，則DE⊥GA′，DE⊥GF，
∴DE⊥平面A′FG，∴平面A′FG⊥平面ABC，①正確；
②由三角形中位線定理可得BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，∴②正確；
③當(dāng)面A′DE⊥面ABC時，三棱錐A′-DEF的體積達(dá)到最大，
最大值為

1

3

×

1

4

×

3

4

a2×

3

4

a=

1

64

a3，③正確；
④由平面A′FG⊥平面ABC，可知點(diǎn)A′在面ABC上的射影在線段AF上，∴④正確；
⑤在旋轉(zhuǎn)過程中二面角A′-DE-F大小的范圍是[0，π]，∴⑤不正確．
故答案為：①②③④．

點(diǎn)評：本題中考查了空間線面的位置關(guān)系，熟練掌握其判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．