Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ae^x（x+1）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+bx+2，已知它們在x=0處有相同的切線．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）若對?x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，利用兩函數(shù)在x=0處有相同的切線，可得2a=b，f（0）=a=g（0）=2，即可求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）求導函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，再分類討論，即可求出函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值；
（Ⅲ）令F（x）=kf（x）-g（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，對?x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，可得當x≥-2，F(xiàn)（x）_min≥0，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ） f'（x）=ae^x（x+2），g'（x）=2x+b----------------------（1分）
由題意，兩函數(shù)在x=0處有相同的切線．
∴f'（0）=2a，g'（0）=b，
∴2a=b，f（0）=a=g（0）=2，∴a=2，b=4，
∴f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．----------------------（3分）
（Ⅱ） f'（x）=2e^x（x+2），由f'（x）＞0得x＞-2，由f'（x）＜0得x＜-2，
∴f（x）在（-2，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，-2）單調(diào)遞減．----------------------（4分）
∵t＞-3，∴t+1＞-2
①當-3＜t＜-2時，f（x）在[t，-2]單調(diào)遞減，[-2，t+1]單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(-2)=-2e-2．----------------------（5分）
②當t≥-2時，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，∴f(x)min=f(t)=2et(t+1)；
∴f(x)=

-2e-2_

&2et(t+1)  (t≥-2)----------------------（6分）
（Ⅲ）令F（x）=kf（x）-g（x）=2ke^x（x+1）-x²-4x-2，
由題意當x≥-2，F(xiàn)（x）_min≥0----------------------（7分）
∵?x≥-2，kf（x）≥g（x）恒成立，∴F（0）=2k-2≥0，∴k≥1----------------------（8分）
F'（x）=2ke^x（x+1）+2ke^x-2x-4=2（x+2）（ke^x-1），----------------------（9分）
∵x≥-2，由F'（x）＞0得ex＞

1

k

，∴x＞ln

1

k

；由F'（x）＜0得x＜ln

1

k

∴F（x）在(-∞，ln

1

k

]單調(diào)遞減，在[ln

1

k

，+∞)單調(diào)遞增----------------------（10分）
①當ln

1

k

＜-2，即k＞e²時，F(xiàn)（x）在[-2，+∞）單調(diào)遞增，F(x)min=F(-2)=-2ke-2+2=

2

e2

(e2-k)＜0，不滿足F（x）_min≥0．----------------（11分）
②當ln

1

k

=-2，即k=e²時，由①知，F(x)min=F(-2)=

2

e2

(e2-k)=0，滿足F（x）_min≥0．-------（12分）
③當ln

1

k

＞-2，即1≤k＜e²時，F(xiàn)（x）在[-2，ln

1

k

]單調(diào)遞減，在[ln

1

k

，+∞)單調(diào)遞增F(x)min=F(ln

1

k

)=lnk(2-lnk)＞0，滿足F（x）_min≥0．
綜上所述，滿足題意的k的取值范圍為[1，e²]．----------------------（13分）

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．